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MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONESTRANSLATE THIS PAGE Características de funciones de grado 2. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyoeje de
MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA.TRANSLATE THIS PAGE Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: 2013TRANSLATE THIS PAGE Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Son las de la forma y = ax 3 + bx 2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d) MATEMÁTICAS IV: CONTRADOMINIOTRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Contradominio. Una función es una relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir, cuando dos variables están relacionadas, se establece que el valor de una de ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra. Dominio y contradominio de una función. • Dominio de la función: Es elconjunto de
MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS …TRANSLATE THIS PAGEAUTHOR: DIANA MELISSA Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS …TRANSLATE THIS PAGEAUTHOR: DIANA MELISSA Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES Modelo general de las funciones Polinomiales. Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya reglaesta
MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONESTRANSLATE THIS PAGE Características de funciones de grado 2. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyoeje de
MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA.TRANSLATE THIS PAGE Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: 2013TRANSLATE THIS PAGE Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Son las de la forma y = ax 3 + bx 2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d) MATEMÁTICAS IV: CONTRADOMINIOTRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Contradominio. Una función es una relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir, cuando dos variables están relacionadas, se establece que el valor de una de ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra. Dominio y contradominio de una función. • Dominio de la función: Es elconjunto de
MATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.TRANSLATE THIS PAGE Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN CONSTANTE.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV. En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma: donde c es la constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN INVERSATRANSLATE THIS PAGE Sea f una función real inyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J.Entonces, lafunción recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguienteregla:
MATEMÁTICAS IV: PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con MATEMÁTICAS IV: RELACIONES. 15.- Un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA.TRANSLATE THIS PAGE 3.-. La regla de correspondencia es como decir y = 2x o escrito de otra manera: f (x) = 2x. lo cual significa que el valor de y depende del valor de x o que el valor de y responde a esa regla. entonces en ese caso la regla de correspondencia seria. que a cada valor de x le corresponde un valor de y y el valor de y debe ser igual al valor de x MATEMÁTICAS IV: COMPORTAMIENTO DE LA GRÁFICA DE …TRANSLATE THISPAGE
Nota como se comparan los valores de ambas funciones para distintos valores de x. Conclusión: Cuando la magnitud de x es grande los valores de g(x)=ax n + se parecen a los valores de f(x)=ax n. La aplicacion de abajo, muestra las gráficas de g(x)=ax n y f(x)=ax n + Cambia el zoom para verificar que las gráficas se ven iguales cuando los valores de x cubren un rango amplio.MATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS …TRANSLATE THIS PAGEAUTHOR: DIANA MELISSA Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONESTRANSLATE THIS PAGE Características de funciones de grado 2. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyoeje de
MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES Modelo general de las funciones Polinomiales. Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya reglaesta
MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA.TRANSLATE THIS PAGE Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS …TRANSLATE THIS PAGEAUTHOR: DIANA MELISSA Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONESTRANSLATE THIS PAGE Características de funciones de grado 2. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyoeje de
MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES Modelo general de las funciones Polinomiales. Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya reglaesta
MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA.TRANSLATE THIS PAGE Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: CONTRADOMINIOTRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Contradominio. Una función es una relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir, cuando dos variables están relacionadas, se establece que el valor de una de ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra. Dominio y contradominio de una función. • Dominio de la función: Es elconjunto de
MATEMÁTICAS IV: IMAGENTRANSLATE THIS PAGE Imagen. En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por: Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.TRANSLATE THIS PAGE Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN CONSTANTE.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV. En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma: donde c es la constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV: RELACIONES. 15.- Un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN INVERSATRANSLATE THIS PAGE Sea f una función real inyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J.Entonces, lafunción recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguienteregla:
MATEMÁTICAS IV: PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, conMATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS …TRANSLATE THIS PAGEAUTHOR: DIANA MELISSA Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONESTRANSLATE THIS PAGE Características de funciones de grado 2. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyoeje de
MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES Modelo general de las funciones Polinomiales. Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya reglaesta
MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA.TRANSLATE THIS PAGE Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS …TRANSLATE THIS PAGEAUTHOR: DIANA MELISSA Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONESTRANSLATE THIS PAGE Características de funciones de grado 2. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyoeje de
MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES Modelo general de las funciones Polinomiales. Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya reglaesta
MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS …TRANSLATE THIS PAGE Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA.TRANSLATE THIS PAGE Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. DOMINIO - MATEMÁTICAS IVTRANSLATE THIS PAGE Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: CONTRADOMINIOTRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Contradominio. Una función es una relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir, cuando dos variables están relacionadas, se establece que el valor de una de ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra. Dominio y contradominio de una función. • Dominio de la función: Es elconjunto de
MATEMÁTICAS IV: IMAGENTRANSLATE THIS PAGE Imagen. En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por: Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN CONSTANTE.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV. En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma: donde c es la constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.TRANSLATE THIS PAGE Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA.TRANSLATE THIS PAGE Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV: RELACIONES. 15.- Un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN INVERSATRANSLATE THIS PAGE Sea f una función real inyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J.Entonces, lafunción recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguienteregla:
MATEMÁTICAS IV: PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES DE …TRANSLATE THISPAGE
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, conMATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS FUNCIONESAUTHOR:DIANA MELISSA
Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS FUNCIONES Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Características de funciones de grado 2. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyoeje de
MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES Modelo general de las funciones Polinomiales. Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya reglaesta
MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a DOMINIO - MATEMÁTICAS IV Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA. Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE GRADOS En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA. Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS FUNCIONESAUTHOR:DIANA MELISSA
Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro. Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS FUNCIONES Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Características de funciones de grado 2. En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyoeje de
MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES Modelo general de las funciones Polinomiales. Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya reglaesta
MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a DOMINIO - MATEMÁTICAS IV Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA. Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE GRADOS En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: en donde a. , b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola , cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA. Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. (al dividir por 2) Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . x = u + v , U = u ³, V = v ³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. DOMINIO - MATEMÁTICAS IV Dominio. En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo ,abierto y
MATEMÁTICAS IV: IMAGEN Imagen. En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por: Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN CONSTANTE. Matemáticas IV. En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma: donde c es la constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN INVERSA Sea f una función real inyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J.Entonces, lafunción recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguienteregla:
MATEMÁTICAS IV: PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES DE GRADOS El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con MATEMÁTICAS IV: RELACIONES. 15.- Un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA. Matemáticas IV: Regla de correspondencia. así sucesivamente. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo delas
MATEMÁTICAS IV: COMPORTAMIENTO DE LA GRÁFICA DE UNA Nota como se comparan los valores de ambas funciones para distintos valores de x. Conclusión: Cuando la magnitud de x es grande los valores de g(x)=ax n + se parecen a los valores de f(x)=ax n. La aplicacion de abajo, muestra las gráficas de g(x)=ax n y f(x)=ax n + Cambia el zoom para verificar que las gráficas se ven iguales cuando los valores de x cubren un rango amplio.MATEMÁTICAS IV
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Son las de la forma y = ax 3 + bx 2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d) MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS FUNCIONESAUTHOR:DIANA MELISSA
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Son las de la forma y = ax 3 + bx 2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d) MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES (a) el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales. (b) Intercepciones con los ejes: Si y=6 La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6) Si Por división sintética: Los factores de 6 son: Por lo tanto, f tiene un factor de la forma . MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS FUNCIONES Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x DOMINIO - MATEMÁTICAS IV El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamadocodominio.Esto, escrito de manera formal: MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA. Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE GRADOS Esto depende de los grados de la función. La función polinomial tiene relación con la expresión polinomial o con el polinomio. Si una expresión tiene muchos términos la función polinomial puede tenerlos o no, pero responde a la forma: MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras.MATEMÁTICAS IV
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Son las de la forma y = ax 3 + bx 2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d) MATEMÁTICAS IV: PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS FUNCIONESAUTHOR:DIANA MELISSA
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Son las de la forma y = ax 3 + bx 2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d) MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES (a) el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales. (b) Intercepciones con los ejes: Si y=6 La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6) Si Por división sintética: Los factores de 6 son: Por lo tanto, f tiene un factor de la forma . MATEMÁTICAS IV: MODELO MATEMÁTICO DE LAS FUNCIONES Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3.Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. MATEMÁTICAS IV: CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x DOMINIO - MATEMÁTICAS IV El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamadocodominio.Esto, escrito de manera formal: MATEMÁTICAS IV: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN ESCALONADA. Informalmente, una función escalonada es aquella cuya gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes) al ser dibujada.El ejemplo más común de función escalonada es la función parte entera.Otras funciones escalonadas son la función unitaria de Heaviside o función escalón unitario, y la función signo. MATEMÁTICAS IV: FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE GRADOS Esto depende de los grados de la función. La función polinomial tiene relación con la expresión polinomial o con el polinomio. Si una expresión tiene muchos términos la función polinomial puede tenerlos o no, pero responde a la forma: MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras.MATEMÁTICAS IV
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Son las de la forma y = ax 3 + bx 2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales. Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d) DOMINIO - MATEMÁTICAS IV El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamadocodominio.Esto, escrito de manera formal: MATEMÁTICAS IV: IMAGEN En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por: MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN CONSTANTE. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano cartesiano, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de MATEMÁTICAS IV: PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES DE GRADOS El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con MATEMÁTICAS IV: FUNCIÓN INVERSA Sea f una función real inyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J.Entonces, lafunción recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguienteregla:
MATEMÁTICAS IV: RELACIONES. 15.- Un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. MATEMÁTICAS IV: REGLA DE CORRESPONDENCIA. La regla de correspondencia que da lugar o establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras. MATEMÁTICAS IV: COMPORTAMIENTO DE LA GRÁFICA DE UNA Nota como se comparan los valores de ambas funciones para distintos valores de x. Conclusión: Cuando la magnitud de x es grande los valores de g(x)=ax n + se parecen a los valores de f(x)=ax n. La aplicacion de abajo, muestra las gráficas de g(x)=ax n y f(x)=ax n + Cambia el zoom para verificar que las gráficas se ven iguales cuando los valores de x cubren un rango amplio.MATEMÁTICAS IV
DOMINGO, 28 DE ABRIL DE 2013 COMPORTAMIENTO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL EN UNA FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADOS: TRES Y CUATRO. GRÁFICAS DE POLINOMIOS DE LA FORMA _X N_ n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 ------------------------- COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA Considerar la siguiente tabla que contiene los valde f x = x 2 y g x = x 2 + 4 x + 5X
-1000
-100
-10
-1
0
1
10
1000
1000
_F_(_X_)
1000000
10000
100
1
0
1
100
10000
1000000
_G_(_X_)
996005
9605
65
2
5
10
145
10405
1004005
Considerar la siguiente tabla que contiene los valores de f x = 2 x 3 y g x = 2 x 3 - 2 x 2 + 3 x + 6X
-1000
-100
-10
-1
0
1
10
1000
1000
_F_(_X_)
-2.000×109
-2.000×106
-2000
-2
0
2
2000
2.000×106
2.000×109
_G_(_X_)
-2.002×109
-2.020×106
-2224
-1
6
9
1836
1.980×106
1.998×109
Nota como se comparan los valores de ambas funciones para distintosvalores de _x_.
CONCLUSIÓN: Cuando la magnitud de _x_ es grande los valores de _g_(_x_)=_axn_ +... se parecen a los valores de _f_(_x_)=_axn_. La aplicacion de abajo, muestra las gráficas de _g_(_x_)=_axn_ y _f_(_x_)=_axn + ..._ Cambia el zoom para verificar que las gráficas se ven iguales cuando los valores de _x_ cubren un rango amplio. También puedes presionar el boton de la parte superior derecha para conseguir otrafunción _f_:
Recuerda que _r_ es una RAÍZ SIMPLE de_ f_(_x_), si el factor (_x-r_) aparece una sola vez en la fórmula factorizada de _f_(_x_). En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz simple se ve como: Recuerda que _r_ es una RAÍZ DOBLE de_ f_(_x_), si el factor (_x-r_) aparece exactamente dos veces en la fórmula factorizada de _f_(_x_). En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz doble se ve como: Recuerda que _r_ es una RAÍZ TRIPLE de_ f_(_x_), si el factor (_x-r_) aparece exactamente tres veces en la fórmula factorizada de _f_(_x_). En la aplicación de arriba debemos poder observar que la gráfica cerca a una raiz triple se ve como: En general, el comportamiento de la gráfica de una función racional cerca de una RAÍZ está condicionado por la MULTIPLICIDAD de dicha raíz. Si una función polinomial tiene una raíz _R_ de _MULTIPLICIDADK_, entonces:
La gráfica de la función cruza el eje _X_ si _K_ es IMPAR. La gráfica de la función toca el eje _X_ pero no lo cruza,si _K_ es PAR.
EJEMPLO:
LAS RAÍCES DE LA FUNCIÓN POLINOMIAL f x = x3 x + 3 2 x + 2 x - 3 4 son: x=-3 (multiplicidad 2), x=-2 (multiplicidad 1), x=0 (multiplicidad 3) y x=3 (multiplicidad 4). La gráfica de esta función es la siguiente: ------------------------- Haga clic en el siguiente enlace para practicar los conceptos gráficos relacionados a las raíces de un polinomio: ------------------------- CAMBIO DE SIGNOS DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA Una función polinómica es continua, por lo tanto, su gráfica no se corta en ningún punto. Por esta razón las funciones polinómicas solo cambian de signo en sus raíces. Gráficamente esto significa que, entre dos raíces consecutivas, la gráfica esta completamente por encima del eje _x_ o completamente por debajo del eje_x_. En la lección de _Inecuaciones Polinómicas y Racionales_ utilizamos
este hecho para evaluar el signo de un polinomio en un intervalo deprueba.
EJEMPLO:
Considera la función polinómica: f x = x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 . Factorizamos para obtener sus raíces: x 5 + 2 x 4 - 3 x 2 = x 3 ( x 2 + 2 x - 3 ) = x 3 ( x + 3 ) ( x - 1 ) De donde obtenemos las raíces de _f_(_x_) y son:x 3 = 0 x = 0
x + 3 = 0 x = - 3 x - 1 = 0 x = 1 Las raíces determinan los intervalos en los que la función tiene el mismo signo. Por lo tanto, vamos a evaluar el signo de los intervalos determinados por las raíces:INTERVALO
PUNTO DE PRUEBA
FUNCIÓN EVALUADA EN EL PUNTO DE PRUEBASIGNO DEL INTERVALO
( - ∞ , - 3)
_x _= -4
( - 4 ) 3 ( - 4 + 3 ) ( - 4 - 1 ) = ( - 64 ) ( - 1 ) ( - 5 ) = - 320-
( - 3 , 0 )
_x _= -1
( - 1 ) 3 ( - 1 + 3 ) ( - 1 - 1 ) = ( - 1 ) ( 2 ) ( - 2 ) = 4+
( 0 , 1 )
_x _= 0.5
( 0.5 ) 3 ( 0.5 + 3 ) ( 0.5 - 1 ) = 0.125 ( 3.5 ) ( - 0.5 ) = - 0.21875-
( 1 , ∞ )
_x _= 2
( 2 ) 3 ( 2 + 3 ) ( 2 - 1 ) = ( 8 ) ( 5 ) ( 1 ) = 40+
La gráfica de esta función polinómica es la siguiente. Observa como la gráfica de la función está por debajo del eje _x_ en los intervalos donde obtuvimos el signo negativo y por encima del eje _x_ en los intervalos donde obtuvimos el signo positivo. ------------------------- GRAFICAR UNA FUNCIÓN POLINÓMICA Ya tenemos las herramientas para graficar polinomios. Los pasos para hacerlos son los siguientes: * Graficar raíces reales. Factorizar si es necesario. * Identificar el signo de cada región. * Hallar el intercepto en y. * Trazar la gráfica pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento a largoplazo.
-------------------------EJEMPLO 1:
Graficar la función fx= x 3 + 3 x 2 + 2 xSOLUCIÓN:
PASO 1: GRAFICAR RAÍCES REALES. FACTORIZAR SI ES NECESARIO. Factorizando la expresión obtenemos: f x = x x+1 x+2 Por lo que:x = 0
o
x + 1 = 0 x = - 1o
x + 2 = 0 x = - 2 La raíces de la función fx x 3 + 3 x 2 + 2 x son x=0,x=-1 y x=-2
Las raíces definen los siguientes intervalos donde la función tieneel mismo signo.
PASO 2: IDENTIFICAR EL SIGNO DE CADA REGIÓN.INTERVALO
PUNTO DE PRUEBA
FUNCIÓN EVALUADA EN EL PUNTO DE PRUEBA SIGNO DEL INTERVALO( - ∞ , -2 )
_x _= -3
f- 3= - 3 3 + 3 - 3 2 + 2 - 3=-6-
( -2 , -1 )
_x _= -1.5
f- 1.5= - 1.5 3 + 3 - 1.5 2 + 2 - 1.5=0.375+
( -1 , 0 )
_x _= -0.5
f - 0.5 = - 0.5 3 + 3 - 0.5 2 + 2 - 0.5 = - 0.375-
( 0 , ∞ )
_x _= 1
f 1 = 1 3 + 3 1 2 + 2 1 = 6+
PASO 3: HALLAR EL INTERCEPTO EN Y. El intercepto en y es el valor de la función donde _x_=0, esdecir, _f_(0).
f0= 0 3 + 3 0 2 + 2 0 =0 PASO 4: TRAZAR LA GRÁFICA pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento alargo plazo.
COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO. El comportamiento a largo plazo de f x = x 3 + x será igual al de la función f x = x 3 y, por lo tanto, los extremos de la gráfica tendrán el mismo comportamiento. -------------------------EJEMPLO 2:
Graficar la función f x = x - 2 3 x + 3 3SOLUCIÓN:
PASO 1: GRAFICAR RAÍCES REALES. FACTORIZAR SI ES NECESARIO. La expresión ya está factorizada: f x = x - 2 3 x + 3 3 Por lo que: x - 2 = 0 x = 2o
x + 3 = 0 x = - 3 La raíces de la función f x = x - 2 3 x + 3 3 son x=-3y x=2
Las raíces definen los siguientes intervalos donde la función tieneel mismo signo.
PASO 2: IDENTIFICAR EL SIGNO DE CADA REGIÓN.INTERVALO
PUNTO DE PRUEBA
FUNCIÓN EVALUADA EN EL PUNTO DE PRUEBA SIGNO DEL INTERVALO( - ∞ , -3 )
_x _= -4
f - 4 = - 4 - 2 3 - 4 + 3 3 = 216+
( -3 , 2 )
_x _= 0
f 0 = 0 - 2 3 0 + 3 3 = - 216-
( 2 , ∞ )
_x _= 3
f 3 = 3 - 2 3 3 + 3 3 = 216+
PASO 3: HALLAR EL INTERCEPTO EN Y. El intercepto en y es el valor de la función donde _x_=0, esdecir, _f_(0).
f 0 = 0 - 2 3 0 + 3 3 = - 216 PASO 4: TRAZAR LA GRÁFICA pasando por las raíces y el intercepto. El trazo debe ser consistente con los signos y el comportamiento alargo plazo.
COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO. El comportamiento a largo plazo de f x = x - 2 3 x + 3 3 será igual al de la función f x = x 6 ya que la función polinómica es de grado 6, por lo tanto, los extremos de la gráfica tendrán el mismocomportamiento.
Publicado por Diana Melissaen 11:25
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: TRES YCUATRO.
En está entrada representaré las funciones polinomiales de tercer y cuarto grado en gráficas.TERCER GRADO.
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10.- http://www.youtube.com/watch?v=tgLj1DWr5aA FUNCIONES DE CUARTO GRADO.11.-
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Publicado por Diana Melissaen 11:21
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MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES FACTORIZABLES ASOCIADAS A UNA FUNCIÓN POLINOMIAL DE GRADOS: TRES Y CUATRO. TEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES Es un método algo largo, y también algo difícil de explicar aquí, pero intentare explicarlo para este metodo pondre de ejemplo la siguiente ecuacion: x^4+x³+3x²+6=10-2x³+3x lo primero que se hace, es igualar la ecuacion a 0, asi que pasamos todo al lado izquierdo: x^4+3x³+3x²-3x-4=0 despues de esto, localizamos el termino lineal, que es el que no tiene incognita y lo llamamos c tambien localizamos el termino de grado mayor, y lo llamamos d en este caso c es 4 y d es 1 ahora, se buscan los divisores de cada numero: los divisores de c: +/-1,+/-2,+/-4 los divisores de d: +/-1 y despues, dividimos cada numero que obtuvimos en c, entre cada numeroque obtuvimos en d:
c/d= +/-1, +/-2, +/-4 ahora, segun el teorema de los ceros racionales, uno de los numeros que obtuvimos en esa division, es una de las 4 respuestas de laecuacion
el siguiente paso es sustituir cada uno de estos numeros en la ecuacion igualada a 0, se sustituyen hasta que encontremos un numero que cumpla con la igualdadempecemos con el +1
1^4+3(1³)+3(1²)-3(1)-4=01+3(1)+3(1)-3-4=0
1+3+3-3-4=0
0=0
como se puede ver, llegamos a 0=0, lo que significa que la igualdad se cumple, por lo que +1, es una de las cuatro raices de la ecuacion nos faltan otras 3 raices, por lo que podriamos tratar con los demas numeros que resultaron de c/d pero es mas sencillo degradar la ecuacion esto se hace mediante una division sintetica: x^4+3x³+3x²-3x-4 / 1 1..... 3..... 3..... -3..... -4...|__1__ ____1___4____7____4____ 1..... 4..... 7..... 4....... 0 al hacer esto obtenemos una nueva ecuacion, pero esta vez de tercergrado:
x³+4x²+7x+4=0
y se vuelve a hacer lo mismo que hicimos al principio, se saca c/d, y cada numero obtenido de ahi se sustituye en la ecuacion para encontrar uno que cumpla con la igualdad c/d= +/-1, +/-2, +/-4probamos con +1
1³+4(1²)+7(1)+4=0
1+4+7+4=0
16=0
y no se cumple la igualdad, asi que seguimos con el -1 (-1)³+4(-1)²+7(-1)+4=0-1+4(1)-7+4=0
-1+4-7+4=0
0=0
y se obtiene la igualdad, por lo que -1 es otra de las raices e laecuacion
y volvemos a hacer la division sintetica:x³+4x²+7x+4 / -1
1...... 4...... 7..... 4.....|__-1______-1___-3__-4__
1...... 3...... 4..... 0 y con esto llegamos a una ecuacion cuadratica:x²+3x+4=0
la cual ya se puede resolver sin problemas con esto obtenemos que las 4 respuestas a la ecuacion original son 1, -1, y los 2 valores que obtengamos de la ecuacion cuadratica El número se toma independiente del signo, asi que si, lo que se toma es el valor absoluto del numero.EL CASO GENERAL
Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: # ax³ + bx² + cx + d = 0, donde a, b,c y d (a ≠ 0 ) son nümeros que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a ℂ. Sea K un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cübicas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida: # (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax3 + bx2 + cx + d por x - r, obtenemos una ecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, segün el Teorema Fundamental del Álgebra. Los pasos de la resolución son: * Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Seobtiene:
# x3 + b'x2 + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a. * Proceder al cambio de incógnita z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarollar (z - b'/3)3 con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z2, compensado exactamente por b'z2 que aparece en b'(z - b'/3)2. Se obtiene: # z3 + pz + q = 0, con p y q nümeros del cuerpo. * y ahora, la astucia genial: escribir z = u + v. La ecuación precedente da (u + v)3 + p(u+v) + q = 0. # Desarollando: u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + pu + pv + q = 0. # Reagrupando: (u3 + v3 + q) + (3uv2 + v3 + pu + pv) = 0. # Factorizando: (u3 + v3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0. Comó se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z) , es posible imponerse una condicion adicional. Concretamente: # 3uv + p = 0, que implica u3 + v3 + q = 0 . * Pongamos U = u3 y V = v3. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p3/27 porque UV = (uv)3 = (-p/3)3. Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E) X2 + qX - p3/27 = 0, que se sabe resolver. Luego u y v son raíces cübicas de U y V (que verifican uv = -p/3), z = u + v y finalmente x = z - b'/3. En el cuerpo C, si u0 y v0 son estas raíces cübicas, entonces las otras son ju0 y j2u0, y por supuesto jv0 y j2v0, con j = e2iπ/3, una raíz cubica de la unidad. Como el producto uv está fijado ( uv = -p/3) las parejas (u, v) posibles son ( u0, v0), ( ju0 , j2v0) y (j2u0, jv0). Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto ju0 + j2v0 - b'/3 y j2u0 + jv0 - b'/3.II El caso real
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebráicamente cerrado, por lo tanto, el nümero de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión agebráica cerrada de R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Las raíces cübicas no plantean problemas. Se demuestra que el nümero de raíces reales depende del discriminante (multiplicado por 27) de la ecuación auxiliar Δ = 4p3+ 27q2:
* Si Δ > 0 existe una ünica raíz real. Las demás son complejasconjugadas.
* Si Δ = 0 existe una raíz multiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales. * Si Δ < 0 existen tres raíces reales. Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en + ∞ y - ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios. En la figura siguiente se registra todos los casos, segün los signos de a y de Δ. imagen:tercer_grado_curvas.pngIII Primer ejemplo
Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0 Sigamos los pasos descritos en el primerpárrafo.
* t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2) * con x = t + 1, es decir t = x - 1 reemplazando: (x - 1)3 + 3(x - 1)2+ 6(x - 1) + 5 = 0
desarollando: x3 + 3x + 1 = 0 * x = u + v, U = u3, V = v3 y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son las raíces de X2 + X - 1 = 0. imagen:tercer_grado_ejemplo_1.pngIV segundo ejemplo
Este ejemplo es histórico porque fue el que tomo Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, enpleno siglo XVI).
La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0. Estudiando la función x → x3 - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0, nos damos cuenta que esta ecuación tiene tres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura). Por lo tanto debería ser más facil que en el primer ejemplo encontrar una. Los dos primeros pasos son inütiles. Pasamos al tercero: x = u + v ,U = u3, V = v3.
# U + V = 4 y UV = 125 U y V son las raíces de X2 - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo determinante ya hemos calculado. En este enlace entontrarás para resolver funciones de tercer grado. Siempre son mejores los videos que las explicaciones escritas. http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Y1NoRAsb0JsCUARTO GRADO.
Los m´etodos de resoluci´on por radicales de las ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inutiles ´ que est´a feo que un matem´atico no conozca. Como es bien sabido,si K es un cuerpo de caracter´ıstica distinta de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0, las soluciones de la ecuaci´oncuadr´atica.....
He encontrado este maravilloso libro o reseña que les infoma muy claramente, por favor chécalo te ayudará demasiado. Tenga en cuenta que puede haber otros métodosaparte
de estas enormes fórmulas para resolver cúbicas o cuárticas. Pero quería mostrar aquí que las fórmulas realmente existen. La forma general de la ecuación de CUARTO GRADO (o cuártica) es: AX4 + BX3 + CX2 + DX + E = 0 Las ecuaciones de CUARTO GRADO tienen 4 soluciones (o raíces). En su forma más general, estas 4 SOLUCIONES se pueden representarasí:
Primera solución:
Segunda solución:
Tercera solución:
Cuarta solución:
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Ecuaciones.pdf Método de descartes: http://www.slideshare.net/lejopira/mtodo-de-descartes-para-la-resolucin-aproximada-de-ecuaciones-de-cuarto-gradoMétodo de ferrari:
http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Ecuaciones/Ecuac4.htm http://www.youtube.com/watch?v=Ph_AGw6MvFg Publicado por Diana Melissaen 11:03
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PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS:TRES Y CUATRO.
Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y dnúmeros reales.
Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d) Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos deinflexión :
- Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. Aparecerán ejemplos en loscasos 1, 2 y 4
- Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa. Veremos ejemplos en los casos 3 y 4 Te invito a que cheques estos videos: http://www.youtube.com/watch?v=P8j_XQiVg8M http://www.youtube.com/watch?v=0kMg5V-uYjQ Función polinomial de tercer grado La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:y = a3x
3 + a2x
2 + a1x + a0
donde a3 6= 0.
La función polinomial de tercer grado también se conoce comofunción cúbica
Una función cúbica es una función polinómica de grado 3. Las funciones cúbicas tienen expresiones del tipo: Estamos interesados en estudiar la derivada de funciones simples con un punto de vista intuitivo y visual. Para estudiar la derivada de una función cúbica vamos a seguir la misma aproximación que hemos usado para el caso de las funciones cuadráticas.
http://www.youtube.com/watch?v=X7Z2TmEz7TY}
+
Una función de tercer grado tendrá tres raíces, y la de cuartogrado tendrá
cuatro raíces, en la actualidad es mucho más fácil en aplicacionesque
puedes descargar en tu celular, o tener en la computadora, tablet yotros
dispositivos encontrar la representación gráfica de las funciones,con sus
máximos y mínimos, con sus raíces y todo. Pero siempre es buenotambién
hacer lo por ti mismo, es sólo como una ayuda. <3 Publicado por Diana Melissaen 10:52
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MODELO MATEMÁTICO DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO: TRES YCUATRO.
FUNCIONES POLINOMIALES DE TERCER GRADO. Una ECUACIÓN DE TERCER GRADO o ECUACIÓN CÚBICA con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajola forma canónica
:
,
donde _a, b, c_ y _d_ (_a_ ≠ 0) son números que pertenecen aun campo ,
usualmente el campo de los números reales o el de los númeroscomplejos .
La función cúbica es una función polinómicade
tercer grado . Tienela forma:
donde el coeficiente_a_ es
distinto de 0.
Tanto el dominio de definicióncomo
el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.
La derivada de una función cúbica genera una función cuadráticay
su integral una funcióncuártica
.
Ecuación cúbica
La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:
donde _a, b, c_ y _d_ (_a_ ≠ 0) son números que pertenecen aun campo ,
usualmente el campo de los números reales o el de los númeroscomplejos .
Discriminante
Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes realestiene al menos una
solución _x_ sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden
distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,
Los siguientes casos necesitan ser considerados: 1 * Si Δ > 0, entonces la ecuación tiene tres distintas raícesreales.
* Si Δ = 0, entonces la ecuación tiene múltiples raíces y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple). * Si Δ < 0, Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo
tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R. La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante _Δ_ sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomialesno constantes
tienen límites
infinitos
en +∞ y -∞ y las de grado impartienen límites de
signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar
por cero, por el teorema de los valores intermedios.
También es posible resolverla con el método de Newton-Raphson, ya que
se sabe que al menos habrá una solución real. Raíces reales de la ecuación cúbica Partiendo de la ecuación canónica dividiendo entre _a_ y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo ) se elimina de la _forma normal_ el término cuadrático y se obtiene la _forma reducida_:con lo cual,
Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar .2La
ecuación cúbica incompleta posee tres raíces reales cuando el discriminante , pero donde [p. Mientras que esta dada por De modo que si queremos calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa , entonces podemos obtenerlasfácilmente como
, para
Ejemplo.
Sea la ecuación cúbica , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos. * (al dividir por 2) * Con _x_ = _t_ + 1, es decir _t_ = _x_ - 1, reemplazando: , y desarrollando, se optiene la ecuación en forma reducida . * _x_ = _u_ + _v_, _U_ = _u_³, _V_ = _v_³ y se impone _U_ + _V_ = - 1 y _UV_ = - 1. _U_ y _V_ son las raíces de _X_² + _X_ - 1 = 0. * Se despeja _U_, _V_ y _t_.y , luego y .
Por lo tanto
FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO CUATRO. Una ECUACIÓN DE CUARTO GRADO o ECUACIÓN CUÁRTICA con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo LA FORMACANÓNICA:
donde a, b, c, d y e (siendo ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a
los reales o los complejos.
CASO GENERAL
Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo A, y la identidad siguiente es válida:.
En un cuerpo ALGEBRAICAMENTE CERRADO, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.
El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés René Descartes(1596-1650) en el
año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". Aunque existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuárticas, algunos son: método de Ferrari , método de Descartes, método de Euler
, método de Lagrange, método
de Alcalá
,
etcétera.
Método de Descarte
Los pasos de la resolución para el método de Descartes (1637) son: * Dividir la ecuación inicial por el coeficiente _a_. Se obtiene:, donde , , y
* Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar con la identidad precedente, vemos aparecer el término , compensado exactamente por que aparece en . Tras sustituir _x_ y operando con las identidades notables, se obtiene: , con p, q y r números del cuerpo. * Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en , lo que es posible porque no hay z³ en el polinomio. Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones: (coeficiente de x²)(coeficiente en x)
(término constante) Después de algunos cálculos, hallamos : Es una ecuación de sexto grado, pero si
miramos bien, Α sólo aparece con potencias pares. Pongamos . Entonces:, que resulta ser
una ecuación de tercer gradoen la
variable y que se puede resolver usando el método deCardano .
Luego se encuentra Α, Β y Γ, y se resuelven y , y para terminar, no olvide que .Ecuaciones bicuadrada Éstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómicaes:
Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio devariable
Con lo que nos queda: El resultado resulta ser una ecuación de segundo gradoque
podemos resolver usando la fórmula: Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. Así las cuatro solucionesserán:
Otro caso particular: Ecuaciones casi-simétricas El siguiente tipo de ecuación, donde ,
puede ser resuelto así: Al dividir la ecuación por , se obtiene Haciendo cambio de variable:llegamos a
Así
Esta ecuación da 2 raíces, y Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones de 2o grado:y
Si no es 1 en
este método es de todas formas aplicable, luego de dividir laecuación entre .
Las ecuaciones cuasi simétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si , , y , son las raíces de la ecuación, entonces . Dado que el producto de las 4 raíces es , entonces necesariamente. Publicado por Diana Melissaen 10:38
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