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8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
MATEMÁTICA DE QUINTO Matemática de quinto de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay. Te cuento que la hija de un cardiólogo con el que yo me atendía a fines del año pasado, había perdido su examen endiciembre.
5 EJERCICIOS PARABOLA 1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Hallar las ecuaciones de las siguientes parábolas sabiendo que: i) Tiene vértice en el origen de coordenadas y las coordenadas del foco son (4, 0). ii) Tiene vértice en el origen de coordenadas y la ecuación de la directriz es x = 1. iii) Tiene vértice en el origen de coordenadas, es simétricaal eje y el
4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco 4 RELACIONES Y FUNCIONES 60 GUSTAVO A. DUFFOUR EJEMPLO: Dado A {2, 4, 6} B = {m, n, q} hallar A × B Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponer sus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con los LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante 21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de CUARTO, MATEMÁTICA DE CUARTO, URUGUAYTRANSLATE THIS PAGE Matemática de cuarto. de Gustavo A. Duffour. Cuarta edición. Abril 2010 216 páginas. Precio de venta al público $ 490 pesos uruguayos. Carta a los profesores de cuarto. Estimado Profesor. Por la presente me dirijo a usted con la intención de hacerle llegar la última edición de mi texto: Matemática de Cuarto que estará en todas las EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C.8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
MATEMÁTICA DE QUINTO Matemática de quinto de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay. Te cuento que la hija de un cardiólogo con el que yo me atendía a fines del año pasado, había perdido su examen endiciembre.
5 EJERCICIOS PARABOLA 1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Hallar las ecuaciones de las siguientes parábolas sabiendo que: i) Tiene vértice en el origen de coordenadas y las coordenadas del foco son (4, 0). ii) Tiene vértice en el origen de coordenadas y la ecuación de la directriz es x = 1. iii) Tiene vértice en el origen de coordenadas, es simétricaal eje y el
4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco 4 RELACIONES Y FUNCIONES 60 GUSTAVO A. DUFFOUR EJEMPLO: Dado A {2, 4, 6} B = {m, n, q} hallar A × B Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponer sus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con los LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante 21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. 4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco4 01NUMERO 2010
Title: Microsoft Word - 4_01NUMERO_2010.DOC Author: Gustavo Created Date: 4/9/2010 1:09:31 PM MATEMATICAPARATODOS.COM matematicaparatodos.com MATEMÁTICA PARA TODOS Title: untitled Created Date: 4/28/2006 6:26:32 PM MATEMATICAPARATODOS.COM Title: untitled Created Date: 4/19/2006 3:54:33 PM MATEMATICAPARATODOS.COM Title: untitled Created Date: 2/21/2007 5:53:25 PM MATEMATICAPARATODOS.COM Title: untitled Created Date: 8/20/2007 10:55:20 AM III TRIPLES PITAG.RICOS COSECUTIVOS Title: Microsoft Word - III Triples pitag.ricos cosecutivos.rtf Author: GUS Created Date: 9/25/2003 8:25:07 PM MATEMÁTICA PARA TODOS MATEMÁTICA PARA TODOS MATEMÁTICA PARA TODOSTRANSLATE THIS PAGE MATEMÁTICA PARA TODOS. Ejercicios y sus resultados. Disponible en todas las librerías. La historia empieza hace muchos años, llevo 32 años escribiendo textos de matemática, pero tuvo su punto notable durante el 2007 - 2008 en que se presento a la inspección de matemática esta décima edición de “Matemática de sexto. CUARTO, MATEMÁTICA DE CUARTO, URUGUAYTRANSLATE THIS PAGE Matemática de cuarto. de Gustavo A. Duffour. Cuarta edición. Abril 2010 216 páginas. Precio de venta al público $ 490 pesos uruguayos. Carta a los profesores de cuarto. Estimado Profesor. Por la presente me dirijo a usted con la intención de hacerle llegar la última edición de mi texto: Matemática de Cuarto que estará en todas las EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. %(370/98:;%@? ACBD%E1F:HG,) )KJ(%(1L/989M o ! Å #" h ~ ^ º½¹ ÄoÁ¡âÕêv¿ %$ Á¥ÂÕ¿^¿jÌ º½· ÌÎÕÁ Ìf¿jÌfé ¸ ¿jÌz¿jÎ º½·n¸ ÃoÎ · â ¿ $ ¹ Îz¸ Á£ÂoÃ
4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
V. PROYECTO DE EXPLORACIÓN MATEMÁTICA PARA ESTUDIANTES DE 1 V. Proyecto de exploración matemática para estudiantes de secundaria: Las huellas efímeras1 de la geometría dinámica Algunas calculadoras modernas2 vienen dotadas de programas de “geometría dinámica” tales como el “Geometer’s Sketchpad” o el “CabriGeometry”.
LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante MATEMÁTICA PARA TODOS MATEMÁTICA PARA TODOS5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de MATEMÁTICA PARA TODOSTRANSLATE THIS PAGE MATEMÁTICA PARA TODOS. Ejercicios y sus resultados. Disponible en todas las librerías. La historia empieza hace muchos años, llevo 32 años escribiendo textos de matemática, pero tuvo su punto notable durante el 2007 - 2008 en que se presento a la inspección de matemática esta décima edición de “Matemática de sexto. CUARTO, MATEMÁTICA DE CUARTO, URUGUAYTRANSLATE THIS PAGE Matemática de cuarto. de Gustavo A. Duffour. Cuarta edición. Abril 2010 216 páginas. Precio de venta al público $ 490 pesos uruguayos. Carta a los profesores de cuarto. Estimado Profesor. Por la presente me dirijo a usted con la intención de hacerle llegar la última edición de mi texto: Matemática de Cuarto que estará en todas las EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. %(370/98:;%@? ACBD%E1F:HG,) )KJ(%(1L/989M o ! Å #" h ~ ^ º½¹ ÄoÁ¡âÕêv¿ %$ Á¥ÂÕ¿^¿jÌ º½· ÌÎÕÁ Ìf¿jÌfé ¸ ¿jÌz¿jÎ º½·n¸ ÃoÎ · â ¿ $ ¹ Îz¸ Á£ÂoÃ
4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
V. PROYECTO DE EXPLORACIÓN MATEMÁTICA PARA ESTUDIANTES DE 1 V. Proyecto de exploración matemática para estudiantes de secundaria: Las huellas efímeras1 de la geometría dinámica Algunas calculadoras modernas2 vienen dotadas de programas de “geometría dinámica” tales como el “Geometer’s Sketchpad” o el “CabriGeometry”.
LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante MATEMÁTICA PARA TODOS MATEMÁTICA PARA TODOS5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de COLECCIÓN DE TEXTOS DE GUSTAVO A. DUFFOURTRANSLATE THIS PAGE Colección de Textos de Matemática de Gustavo A. Duffour. Textos pensados para el estudiante. Mi experiencia de más de 25 años, dedicado a trabajar con estudiantes de la enseñanza media, me ha llevado ha realizar un detallado estudio de cómo los profesoresuruguayos imparten
MATEMÁTICA DE QUINTO Matemática de quinto de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay. Te cuento que la hija de un cardiólogo con el que yo me atendía a fines del año pasado, había perdido su examen endiciembre.
8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
%(370/98:;%@? ACBD%E1F:HG,) )KJ(%(1L/989M o ! Å #" h ~ ^ º½¹ ÄoÁ¡âÕêv¿ %$ Á¥ÂÕ¿^¿jÌ º½· ÌÎÕÁ Ìf¿jÌfé ¸ ¿jÌz¿jÎ º½·n¸ ÃoÎ · â ¿ $ ¹ Îz¸ Á£ÂoÃ
GEOMETRÍA ANALÍTICA DE GUSTAVO A. DUFFOURTRANSLATE THIS PAGE Geometría Analítica. Séptima edición. Febrero 2002 312 páginas. Precio de venta al público $430 pesos uruguayos. FE DE ERRATAS DE LA SÉPTIMA EDICIÓN EN PAPEL. EJERCICIOS. Y SUS RESULTADOS. Mi dirección. Última modificación: 01-Dic-2014. MATEMÁTICA PARA TODOS MATEMÁTICA PARA TODOS5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de RH RH R H R AT R RR R ´´ R 3 EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco de forma cilíndrica, de 350 ml, que llevará la cantidad mínima de metal. Sea: r = el radio de la base h = altura del cilindro El área de la base es r2 igual al área de la tapa. El área lateral es 2 rh, producto de la circunferencia por la altura del cilindro. Por lo tanto, el área total (AT), que es la función a6 02FUNCIONES 2008
28 GUSTAVO A. DUFFOUR Extraído de: Rabuffetti, H. (1972). Introducción al análisis matemático. Cálculo 1 . Buenos Aires. El Ateneo. Históricamente, el concepto de 21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es MATEMÁTICA PARA TODOSTRANSLATE THIS PAGE MATEMÁTICA PARA TODOS. Ejercicios y sus resultados. Disponible en todas las librerías. La historia empieza hace muchos años, llevo 32 años escribiendo textos de matemática, pero tuvo su punto notable durante el 2007 - 2008 en que se presento a la inspección de matemática esta décima edición de “Matemática de sexto. 4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. CUARTO, MATEMÁTICA DE CUARTO, URUGUAYTRANSLATE THIS PAGE Matemática de cuarto. de Gustavo A. Duffour. Cuarta edición. Abril 2010 216 páginas. Precio de venta al público $ 490 pesos uruguayos. Carta a los profesores de cuarto. Estimado Profesor. Por la presente me dirijo a usted con la intención de hacerle llegar la última edición de mi texto: Matemática de Cuarto que estará en todas las %(370/98:;%@? ACBD%E1F:HG,) )KJ(%(1L/989M o ! Å #" h ~ ^ º½¹ ÄoÁ¡âÕêv¿ %$ Á¥ÂÕ¿^¿jÌ º½· ÌÎÕÁ Ìf¿jÌfé ¸ ¿jÌz¿jÎ º½·n¸ ÃoÎ · â ¿ $ ¹ Îz¸ Á£ÂoÃ
8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
RH RH R H R AT R RR R ´´ R 3 EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco de forma cilíndrica, de 350 ml, que llevará la cantidad mínima de metal. Sea: r = el radio de la base h = altura del cilindro El área de la base es r2 igual al área de la tapa. El área lateral es 2 rh, producto de la circunferencia por la altura del cilindro. Por lo tanto, el área total (AT), que es la función a LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de V. PROYECTO DE EXPLORACIÓN MATEMÁTICA PARA ESTUDIANTES DE 1 V. Proyecto de exploración matemática para estudiantes de secundaria: Las huellas efímeras1 de la geometría dinámica Algunas calculadoras modernas2 vienen dotadas de programas de “geometría dinámica” tales como el “Geometer’s Sketchpad” o el “CabriGeometry”.
MATEMÁTICA PARA TODOSTRANSLATE THIS PAGE MATEMÁTICA PARA TODOS. Ejercicios y sus resultados. Disponible en todas las librerías. La historia empieza hace muchos años, llevo 32 años escribiendo textos de matemática, pero tuvo su punto notable durante el 2007 - 2008 en que se presento a la inspección de matemática esta décima edición de “Matemática de sexto. 4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. CUARTO, MATEMÁTICA DE CUARTO, URUGUAYTRANSLATE THIS PAGE Matemática de cuarto. de Gustavo A. Duffour. Cuarta edición. Abril 2010 216 páginas. Precio de venta al público $ 490 pesos uruguayos. Carta a los profesores de cuarto. Estimado Profesor. Por la presente me dirijo a usted con la intención de hacerle llegar la última edición de mi texto: Matemática de Cuarto que estará en todas las %(370/98:;%@? ACBD%E1F:HG,) )KJ(%(1L/989M o ! Å #" h ~ ^ º½¹ ÄoÁ¡âÕêv¿ %$ Á¥ÂÕ¿^¿jÌ º½· ÌÎÕÁ Ìf¿jÌfé ¸ ¿jÌz¿jÎ º½·n¸ ÃoÎ · â ¿ $ ¹ Îz¸ Á£ÂoÃ
8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
RH RH R H R AT R RR R ´´ R 3 EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco de forma cilíndrica, de 350 ml, que llevará la cantidad mínima de metal. Sea: r = el radio de la base h = altura del cilindro El área de la base es r2 igual al área de la tapa. El área lateral es 2 rh, producto de la circunferencia por la altura del cilindro. Por lo tanto, el área total (AT), que es la función a LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de V. PROYECTO DE EXPLORACIÓN MATEMÁTICA PARA ESTUDIANTES DE 1 V. Proyecto de exploración matemática para estudiantes de secundaria: Las huellas efímeras1 de la geometría dinámica Algunas calculadoras modernas2 vienen dotadas de programas de “geometría dinámica” tales como el “Geometer’s Sketchpad” o el “CabriGeometry”.
MATEMÁTICA PARA TODOSTRANSLATE THIS PAGE MATEMÁTICA PARA TODOS. Ejercicios y sus resultados. Disponible en todas las librerías. La historia empieza hace muchos años, llevo 32 años escribiendo textos de matemática, pero tuvo su punto notable durante el 2007 - 2008 en que se presento a la inspección de matemática esta décima edición de “Matemática de sexto. COLECCIÓN DE TEXTOS DE GUSTAVO A. DUFFOURTRANSLATE THIS PAGE Colección de Textos de Matemática de Gustavo A. Duffour. Textos pensados para el estudiante. Mi experiencia de más de 25 años, dedicado a trabajar con estudiantes de la enseñanza media, me ha llevado ha realizar un detallado estudio de cómo los profesoresuruguayos imparten
8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
%(370/98:;%@? ACBD%E1F:HG,) )KJ(%(1L/989M o ! Å #" h ~ ^ º½¹ ÄoÁ¡âÕêv¿ %$ Á¥ÂÕ¿^¿jÌ º½· ÌÎÕÁ Ìf¿jÌfé ¸ ¿jÌz¿jÎ º½·n¸ ÃoÎ · â ¿ $ ¹ Îz¸ Á£ÂoÃ
MATEMÁTICA DE QUINTO Matemática de quinto de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay. Te cuento que la hija de un cardiólogo con el que yo me atendía a fines del año pasado, había perdido su examen endiciembre.
GEOMETRÍA ANALÍTICA DE GUSTAVO A. DUFFOURTRANSLATE THIS PAGE Geometría Analítica. Séptima edición. Febrero 2002 312 páginas. Precio de venta al público $430 pesos uruguayos. FE DE ERRATAS DE LA SÉPTIMA EDICIÓN EN PAPEL. EJERCICIOS. Y SUS RESULTADOS. Mi dirección. Última modificación: 01-Dic-2014. RH RH R H R AT R RR R ´´ R 3 EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco de forma cilíndrica, de 350 ml, que llevará la cantidad mínima de metal. Sea: r = el radio de la base h = altura del cilindro El área de la base es r2 igual al área de la tapa. El área lateral es 2 rh, producto de la circunferencia por la altura del cilindro. Por lo tanto, el área total (AT), que es la función a MATEMÁTICA PARA TODOS MATEMÁTICA PARA TODOS5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de 21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. MATEMÁTICA DE QUINTO Matemática de quinto de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay. Te cuento que la hija de un cardiólogo con el que yo me atendía a fines del año pasado, había perdido su examen endiciembre.
10 EJERCICIOS ENVOLVENTES 0 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Sea P un punto variable en la recta (p) x = 1. Sea (C) la circunferencia de centro A(3, 0) y que pasa por P. (t) la tangente a (C) en P. i) Hallar la ecuación de la envolvente de (t) al variar P. Reconocer. ii) (AP) (x = – 1) = {N}; (n) es paralela al eje por N; (n) (t) = {W}. Demostrar que W es el punto de contacto de la recta (t) con la 5 EJERCICIOS PARABOLA 1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Hallar las ecuaciones de las siguientes parábolas sabiendo que: i) Tiene vértice en el origen de coordenadas y las coordenadas del foco son (4, 0). ii) Tiene vértice en el origen de coordenadas y la ecuación de la directriz es x = 1. iii) Tiene vértice en el origen de coordenadas, es simétricaal eje y el
4 RELACIONES Y FUNCIONES 60 GUSTAVO A. DUFFOUR EJEMPLO: Dado A {2, 4, 6} B = {m, n, q} hallar A × B Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponer sus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con los LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de 21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. MATEMÁTICA DE QUINTO Matemática de quinto de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay. Te cuento que la hija de un cardiólogo con el que yo me atendía a fines del año pasado, había perdido su examen endiciembre.
10 EJERCICIOS ENVOLVENTES 0 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Sea P un punto variable en la recta (p) x = 1. Sea (C) la circunferencia de centro A(3, 0) y que pasa por P. (t) la tangente a (C) en P. i) Hallar la ecuación de la envolvente de (t) al variar P. Reconocer. ii) (AP) (x = – 1) = {N}; (n) es paralela al eje por N; (n) (t) = {W}. Demostrar que W es el punto de contacto de la recta (t) con la 5 EJERCICIOS PARABOLA 1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Hallar las ecuaciones de las siguientes parábolas sabiendo que: i) Tiene vértice en el origen de coordenadas y las coordenadas del foco son (4, 0). ii) Tiene vértice en el origen de coordenadas y la ecuación de la directriz es x = 1. iii) Tiene vértice en el origen de coordenadas, es simétricaal eje y el
4 RELACIONES Y FUNCIONES 60 GUSTAVO A. DUFFOUR EJEMPLO: Dado A {2, 4, 6} B = {m, n, q} hallar A × B Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponer sus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con los LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de 21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es MATEMÁTICA DE QUINTO Matemática de quinto de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay. Te cuento que la hija de un cardiólogo con el que yo me atendía a fines del año pasado, había perdido su examen endiciembre.
COLECCIÓN DE TEXTOS DE GUSTAVO A. DUFFOURTRANSLATE THIS PAGE Colección de Textos de Matemática de Gustavo A. Duffour. Textos pensados para el estudiante. Mi experiencia de más de 25 años, dedicado a trabajar con estudiantes de la enseñanza media, me ha llevado ha realizar un detallado estudio de cómo los profesoresuruguayos imparten
CUARTO, MATEMÁTICA DE CUARTO, URUGUAYTRANSLATE THIS PAGE Matemática de cuarto. de Gustavo A. Duffour. Cuarta edición. Abril 2010 216 páginas. Precio de venta al público $ 490 pesos uruguayos. Carta a los profesores de cuarto. Estimado Profesor. Por la presente me dirijo a usted con la intención de hacerle llegar la última edición de mi texto: Matemática de Cuarto que estará en todas las %(370/98:;%@? ACBD%E1F:HG,) )KJ(%(1L/989M o ! Å #" h ~ ^ º½¹ ÄoÁ¡âÕêv¿ %$ Á¥ÂÕ¿^¿jÌ º½· ÌÎÕÁ Ìf¿jÌfé ¸ ¿jÌz¿jÎ º½·n¸ ÃoÎ · â ¿ $ ¹ Îz¸ Á£ÂoÃ
5 EJERCICIOS PARABOLA 1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Hallar las ecuaciones de las siguientes parábolas sabiendo que: i) Tiene vértice en el origen de coordenadas y las coordenadas del foco son (4, 0). ii) Tiene vértice en el origen de coordenadas y la ecuación de la directriz es x = 1. iii) Tiene vértice en el origen de coordenadas, es simétricaal eje y el
10 EJERCICIOS ENVOLVENTES 0 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Sea P un punto variable en la recta (p) x = 1. Sea (C) la circunferencia de centro A(3, 0) y que pasa por P. (t) la tangente a (C) en P. i) Hallar la ecuación de la envolvente de (t) al variar P. Reconocer. ii) (AP) (x = – 1) = {N}; (n) es paralela al eje por N; (n) (t) = {W}. Demostrar que W es el punto de contacto de la recta (t) con la 0 EJERCICIOS MATRICES GUSTAVO A. DUFFOUR 1 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Construya las siguientes matrices: i) La matríz A de 2 i j 4 tal que: a = i + j ii) La matríz B de 2 i j 3 tal que: b = (– 1) i+j (i) iii) La matríz C de 3 2 12 tal que: 1c = 2c3 = 2c2 = 1 c3 = – 2 y los demás elementos cero. iv) La matríz D de 3 i 4 tal que: d j = i – j 4 RELACIONES Y FUNCIONES 60 GUSTAVO A. DUFFOUR EJEMPLO: Dado A {2, 4, 6} B = {m, n, q} hallar A × B Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponer sus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con los ARTÍCULO SOBRE MATRICES Matriz transpuesta: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas.La primera fila de A es la primera fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. EXCEL posee la función TRANSPONER que permite hallar la transpuesta de una matriz. Sintaxis: TRANSPONER (matriz) para utilizarla debe proceder del 21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. 4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco 4 RELACIONES Y FUNCIONES 60 GUSTAVO A. DUFFOUR EJEMPLO: Dado A {2, 4, 6} B = {m, n, q} hallar A × B Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponer sus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con los RH RH R H R AT R RR R ´´ R 3 EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco de forma cilíndrica, de 350 ml, que llevará la cantidad mínima de metal. Sea: r = el radio de la base h = altura del cilindro El área de la base es r2 igual al área de la tapa. El área lateral es 2 rh, producto de la circunferencia por la altura del cilindro. Por lo tanto, el área total (AT), que es la función a5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de MATEMÁTICA PARA TODOS MATEMÁTICA PARA TODOS LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante V. PROYECTO DE EXPLORACIÓN MATEMÁTICA PARA ESTUDIANTES DE 1 V. Proyecto de exploración matemática para estudiantes de secundaria: Las huellas efímeras1 de la geometría dinámica Algunas calculadoras modernas2 vienen dotadas de programas de “geometría dinámica” tales como el “Geometer’s Sketchpad” o el “CabriGeometry”.
21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es MATEMATICAPARATODOS.COM matematicaparatodos.com EL ANTIGUO MATEMÁTICO INDIO PINGALA PRESENTÓ LA PRIMERA 8 GUSTAVO A. DUFFOUR El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario, en el siglo III a. C. 4 08TRIGONOMETRIA 2010 MATEMÁTICA DE CUARTO 121 8 FUNCIONES el símbolo ANGULARES en 360 grados es muy arbitraria, 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco 4 RELACIONES Y FUNCIONES 60 GUSTAVO A. DUFFOUR EJEMPLO: Dado A {2, 4, 6} B = {m, n, q} hallar A × B Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponer sus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con los RH RH R H R AT R RR R ´´ R 3 EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco de forma cilíndrica, de 350 ml, que llevará la cantidad mínima de metal. Sea: r = el radio de la base h = altura del cilindro El área de la base es r2 igual al área de la tapa. El área lateral es 2 rh, producto de la circunferencia por la altura del cilindro. Por lo tanto, el área total (AT), que es la función a5 07INDUCCION 2008
130 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – PROPIEDADES DE LA SUMATORIA El símbolo de sumatoria es utilizado para escribir en forma breve cierto tipo de suma. Las propiedades de MATEMÁTICA PARA TODOS MATEMÁTICA PARA TODOS LA APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UN SON POSIBLEMENTE QUE 286 GUSTAVO A. DUFFOUR Brook Taylor (Inglaterra, 1685-1731) 2) Los ceros de una Se graduó en Cambridge en 1709, pero aun antes, en 1708, escribió su primer trabajo importante V. PROYECTO DE EXPLORACIÓN MATEMÁTICA PARA ESTUDIANTES DE 1 V. Proyecto de exploración matemática para estudiantes de secundaria: Las huellas efímeras1 de la geometría dinámica Algunas calculadoras modernas2 vienen dotadas de programas de “geometría dinámica” tales como el “Geometer’s Sketchpad” o el “CabriGeometry”.
21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas es MATEMATICAPARATODOS.COM matematicaparatodos.com COLECCIÓN DE TEXTOS DE GUSTAVO A. DUFFOURTRANSLATE THIS PAGE Colección de Textos de Matemática de Gustavo A. Duffour. Textos pensados para el estudiante. Mi experiencia de más de 25 años, dedicado a trabajar con estudiantes de la enseñanza media, me ha llevado ha realizar un detallado estudio de cómo los profesoresuruguayos imparten
MATEMÁTICA DE QUINTO Matemática de quinto de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay. Te cuento que la hija de un cardiólogo con el que yo me atendía a fines del año pasado, había perdido su examen endiciembre.
8 EJERCICIOS LUGAR
1 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(1, 0), C(0, 2) y sea P un punto variable sobre el eje . i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular a (AC) por P. ii) Sea P' simétrico de P respecto al origen. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela a(AC) por P'
RH RH R H R AT R RR R ´´ R 3 EJEMPLO: Hallar las dimensiones de una lata común de refresco de forma cilíndrica, de 350 ml, que llevará la cantidad mínima de metal. Sea: r = el radio de la base h = altura del cilindro El área de la base es r2 igual al área de la tapa. El área lateral es 2 rh, producto de la circunferencia por la altura del cilindro. Por lo tanto, el área total (AT), que es la función a CUARTO, MATEMÁTICA DE CUARTO, URUGUAYTRANSLATE THIS PAGE Matemática de cuarto. de Gustavo A. Duffour. Cuarta edición. Abril 2010 216 páginas. Precio de venta al público $ 490 pesos uruguayos. Carta a los profesores de cuarto. Estimado Profesor. Por la presente me dirijo a usted con la intención de hacerle llegar la última edición de mi texto: Matemática de Cuarto que estará en todas las 0 EJERCICIOS MATRICES GUSTAVO A. DUFFOUR 1 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Construya las siguientes matrices: i) La matríz A de 2 i j 4 tal que: a = i + j ii) La matríz B de 2 i j 3 tal que: b = (– 1) i+j (i) iii) La matríz C de 3 2 12 tal que: 1c = 2c3 = 2c2 = 1 c3 = – 2 y los demás elementos cero. iv) La matríz D de 3 i 4 tal que: d j = i – j 10 EJERCICIOS ENVOLVENTES 0 GUSTAVO A. DUFFOUR EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Sea P un punto variable en la recta (p) x = 1. Sea (C) la circunferencia de centro A(3, 0) y que pasa por P. (t) la tangente a (C) en P. i) Hallar la ecuación de la envolvente de (t) al variar P. Reconocer. ii) (AP) (x = – 1) = {N}; (n) es paralela al eje por N; (n) (t) = {W}. Demostrar que W es el punto de contacto de la recta (t) con la GEOMETRÍA ANALÍTICA DE GUSTAVO A. DUFFOURTRANSLATE THIS PAGE Geometría Analítica. Séptima edición. Febrero 2002 312 páginas. Precio de venta al público $430 pesos uruguayos. FE DE ERRATAS DE LA SÉPTIMA EDICIÓN EN PAPEL. EJERCICIOS. Y SUS RESULTADOS. Mi dirección. Última modificación: 01-Dic-2014. 21 EXÁMENES PRÁCTICOS MATEMÁTICA DE QUINTO 457 21 EXÁMENES PRÁCTICOS DICIEMBRE 2000 SCUOLA ITALIANA HUMANÍSTICO 484) Sea la función polinómica f: f(x) = 9 3 + ax2 + bx –10 1) Calcular a ∈ \ \b sabiendo que f(x) dividido entre (x 2– 2) da resto 16x + 80) 2) Una vez sustituidos a y b por los valores hallados, hallar las raíces de f(x) sabiendo que el producto de dos de ellas esEXÁMENES DE QUINTO
Exámenes complementarios al texto -Matemática de quinto- de Gustavo A. Duffour, para el bachillerato en el Uruguay Esta página usa marcos, pero su explorador no los admite.Details
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