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apêndices, que
GATEWAY ARCH
Autor: Eero Saarinen Cidade: St. Louis, EUA Ano: 1948 Curvas no Projeto: Catenária Descrição e Motivação: O Gateway Arch é um grande arco de espessura variável projetado por Saarinen que corresponde à própria curva funicular. Como a espessura do arco é variável, também o é sua densidade linear. Assim, a forma do arconão é
ELIPSE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Construções geométricas: – Método do jardineiro: Utiliza três estacas e uma corda. Primeiro fixam-se duas das estacas no local onde devem estar os focos e amarra-se a corda com as extremidades nas duas estacas fixas. Estica-se então a corda, que deve medir 2 (a+c), com a terceira estaca e com ela desenha-se a elipse, mantendo-a sempre PALÁCIO DA ALVORADA Autor: Oscar Niemeyer e Joaquim Cardozo Cidade: Brasília, Brasil Ano: 1958 Curvas no Projeto: Parábola (4º grau) Descrição e Motivação: O palácio possui pilares cujo contorno é uma parábola de 4º grau, cuja equação y=0,037x4-0,19x3+0,381x2-0,048x foi publicada na revista módulo. Evidentemente, a forma foi adaptada na obra, pois a equação não apresenta derivada 0 (ponto de WALT DISNEY CONCERT HALL Autor: Frank Gehry Cidade: Los Angeles, EUA Ano: 1999\2003 Curvas no Projeto: Forma livre Descrição e Motivação: O edifício possui forma livre, composta por placas metálicas torcidas, teve a forma possibilitada pelo uso de superfícies desenvolvíveis dadas as exigências do material. Bibliografia: POTTMANN, Helmut; ASPERL, Andreas; HOFER, Michael; KILIAN, Axel. BASÍLICA DE SÃO PEDRO Autor: Michelângelo Buonarrotti Cidade: Roma, Itália Ano: séc. XVII Curvas no Projeto: Esfera Descrição e Motivação: A basílica possui uma cúpula pensada de acordo com métodos estereotômicos e geométricos do Renascimento. Em 1748, Giovanni Poleni usou o teorema de Hooke sobre a relação entre as forma de arcos e de correntes pendentes para confirmarAEROPORTO DE KANSAI
Curvas no Projeto: Forma aerodinâmica. Descrição e Motivação: O edifício teve a forma definida por estudos aerodinâmicos, segundo o arquiteto. Além disso, sua forma lembra uma espinha dorsal, uma onda se desenrolando ou uma asa aberta. Figura 1: Seção transversal do Aeroporto de Kansai.AEROPORTO DE DULLES
Autor: Eero Saarinen Cidade: Washington D. C., EUA Ano: 1960\\62 Curvas no Projeto: Tensoestrutura Descrição e Motivação: A cobertura é em estrutura de BIBLIOTECA DE SEINÄJOKI Autor: Aalvar Aalto Cidade: Seinajöki, Finlândia Ano: 1963\65 Curvas no Projeto: Cilindróide Descrição e Motivação: O edifício possui na fachada principal um edifício da família do cilindro topológico. Bibliografia: CONSIGLIERI, Victor. A Morfologia da Arquitetura: 1920-1970 Vol. I. Referência/Editorial Estampa. Lisboa,1994.
PARAMETRIZAÇÃO DO PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Para parametrizar o parabolóide hiperbólico dado pela equação vamos escolher parâmetros u e v sugeridos pela seguinte fatoração da equação do parabolóide: .Então, seja e , daí sai imediatamente a equação paramétrica:. Agora, se escrevemos a equação paramétrica adotando u como constante, em forma vetorial com v comoparâmetro livre:
CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE A outra seção guarda informações matemáticas e físicas das curvas e superfícies, além de motivações e exemplos dos seus possíveis na arquitetura. Naturalmente, as duas seções se interligam por hiperlinks colocados nos locais adequados. Além disso, tanto os verbetes dos edifícios quanto os geométricos ligam-se comapêndices, que
GATEWAY ARCH
Autor: Eero Saarinen Cidade: St. Louis, EUA Ano: 1948 Curvas no Projeto: Catenária Descrição e Motivação: O Gateway Arch é um grande arco de espessura variável projetado por Saarinen que corresponde à própria curva funicular. Como a espessura do arco é variável, também o é sua densidade linear. Assim, a forma do arconão é
ELIPSE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Construções geométricas: – Método do jardineiro: Utiliza três estacas e uma corda. Primeiro fixam-se duas das estacas no local onde devem estar os focos e amarra-se a corda com as extremidades nas duas estacas fixas. Estica-se então a corda, que deve medir 2 (a+c), com a terceira estaca e com ela desenha-se a elipse, mantendo-a sempre PALÁCIO DA ALVORADA Autor: Oscar Niemeyer e Joaquim Cardozo Cidade: Brasília, Brasil Ano: 1958 Curvas no Projeto: Parábola (4º grau) Descrição e Motivação: O palácio possui pilares cujo contorno é uma parábola de 4º grau, cuja equação y=0,037x4-0,19x3+0,381x2-0,048x foi publicada na revista módulo. Evidentemente, a forma foi adaptada na obra, pois a equação não apresenta derivada 0 (ponto de WALT DISNEY CONCERT HALL Autor: Frank Gehry Cidade: Los Angeles, EUA Ano: 1999\2003 Curvas no Projeto: Forma livre Descrição e Motivação: O edifício possui forma livre, composta por placas metálicas torcidas, teve a forma possibilitada pelo uso de superfícies desenvolvíveis dadas as exigências do material. Bibliografia: POTTMANN, Helmut; ASPERL, Andreas; HOFER, Michael; KILIAN, Axel. BASÍLICA DE SÃO PEDRO Autor: Michelângelo Buonarrotti Cidade: Roma, Itália Ano: séc. XVII Curvas no Projeto: Esfera Descrição e Motivação: A basílica possui uma cúpula pensada de acordo com métodos estereotômicos e geométricos do Renascimento. Em 1748, Giovanni Poleni usou o teorema de Hooke sobre a relação entre as forma de arcos e de correntes pendentes para confirmarAEROPORTO DE KANSAI
Curvas no Projeto: Forma aerodinâmica. Descrição e Motivação: O edifício teve a forma definida por estudos aerodinâmicos, segundo o arquiteto. Além disso, sua forma lembra uma espinha dorsal, uma onda se desenrolando ou uma asa aberta. Figura 1: Seção transversal do Aeroporto de Kansai.AEROPORTO DE DULLES
Autor: Eero Saarinen Cidade: Washington D. C., EUA Ano: 1960\\62 Curvas no Projeto: Tensoestrutura Descrição e Motivação: A cobertura é em estrutura de BIBLIOTECA DE SEINÄJOKI Autor: Aalvar Aalto Cidade: Seinajöki, Finlândia Ano: 1963\65 Curvas no Projeto: Cilindróide Descrição e Motivação: O edifício possui na fachada principal um edifício da família do cilindro topológico. Bibliografia: CONSIGLIERI, Victor. A Morfologia da Arquitetura: 1920-1970 Vol. I. Referência/Editorial Estampa. Lisboa,1994.
PARAMETRIZAÇÃO DO PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Para parametrizar o parabolóide hiperbólico dado pela equação vamos escolher parâmetros u e v sugeridos pela seguinte fatoração da equação do parabolóide: .Então, seja e , daí sai imediatamente a equação paramétrica:. Agora, se escrevemos a equação paramétrica adotando u como constante, em forma vetorial com v comoparâmetro livre:
GATEWAY ARCH
Autor: Eero Saarinen Cidade: St. Louis, EUA Ano: 1948 Curvas no Projeto: Catenária Descrição e Motivação: O Gateway Arch é um grande arco de espessura variável projetado por Saarinen que corresponde à própria curva funicular. Como a espessura do arco é variável, também o é sua densidade linear. Assim, a forma do arconão é
PARÁBOLA | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Divida o segmento OB 0 em 10 trechos iguais pelos pontos B 1 (o mais próximo de B 0 ), B 2, , B 9. Trace os segmentos A 1 B 9, A 1 B 8, A 1 B 7, , A 9 B 1. Esses segmentos são todos tangentes à parábola. Para encontrar o ponto de tangência (que pertence à parábola) de um dado segmento A i B 10-i basta dividir o segmento A i B 10-iTEATRO TOTAL
Autor: Walter Gropius Cidade: Não construído Ano: 1926 Curvas no Projeto: Elipsóide Motivação: Gropius, nessa proposta de um teatro moderno adequado às novas necessidades das artes cênicas no século XX, optou por uma forma elíptica na cúpula oval pela flexibilidade das elipses e circunferências para movimentação dos palcos sem prejudicar a acústica ou a visibilidade.PRAÇA DA ELIPSE
Autor: Charles L'Enfant Cidade: Washington D.C., EUA Ano: 1791 Curvas no Projeto: Elipse Motivação: Entre as várias formas geométricas colocadas pelo paisagista francês Charles L'Enfant no plano para a capital americana estava uma praça elíptica em frente à Casa Branca. De grande precisão quando comparada a uma elipse matemática de semi-eixos 322,56 m e 275,19ÓPERA GARNIER
Autor: Charles Garnier Cidade: Paris, França Ano: 1862\75 Curvas no Projeto: Oval, elipse Descrição e Motivação: A Ópera possui grandes salas elípticas e ovais, como outras salas de ópera a partir do século XVIII, pelos resultados acústicos e também para formar centralidades sociais, marcadas pelas linhas das arquibancadas. HIPÉRBOLE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Propriedades físicas : – Os raios que saem de um foco e são refratados em um folha da hipérbole passam pelo outro foco. – É a forma de uma órbita de um corpo que ultrapassou a velocidade de escape. História: Veja História das Cônicas.CONGRESSO NACIONAL
Autor: Oscar Niemeyer e Joaquim Cardozo Cidade: Brasília, Brasil Ano: 1960 Curvas no Projeto: Elipsóide (Câmara), Parabolóide de revolução (Senado) Descrição e Motivação: O edifício do Congresso Nacional em Brasília é composto por duas cúpulas, uma para o Senado Federal e outra para a Câmara dos Deputados. A primeira, cuja concavidade aponta para baixo, possui BIBLIOTECA DE SEINÄJOKI Autor: Aalvar Aalto Cidade: Seinajöki, Finlândia Ano: 1963\65 Curvas no Projeto: Cilindróide Descrição e Motivação: O edifício possui na fachada principal um edifício da família do cilindro topológico. Bibliografia: CONSIGLIERI, Victor. A Morfologia da Arquitetura: 1920-1970 Vol. I. Referência/Editorial Estampa. Lisboa,1994.
BATISTÉRIO DE PISA
Autor: Diotisalvi Cidade: Pisa, Itália Ano: 1153\1265 Curvas no Projeto: Cone Descrição e Motivação: Possui um cone de alvenaria dentro da cúpula que reduz o empuxo. Bibliografia: ADDIS, Bill. Edificação: 3000 Anos de Projeto, Engenharia e Construção. Bookman. Porto Alegre, 2009. Imagens: - Figura 1: ADDIS, Bill. Edificação: 3000 Anos de Projeto, Engenharia ESTÁDIO OLÍMPICO DE ATLANTA Autor: Matthys Levy Cidade: Atlanta, EUA Ano: 1992 Curvas no Projeto: Oval, parabolóide hiperbólico Descrição e Motivação: O domo é um domo “tensegrity” com elementos de parabolóides hiperbólicos. A forma global é oval. Bibliografia: LEVY, Matthys; SALVADORI, Mario. Why Buildings Fall Down. W. W. Norton & Company. NewYork, 1992.
CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE A outra seção guarda informações matemáticas e físicas das curvas e superfícies, além de motivações e exemplos dos seus possíveis na arquitetura. Naturalmente, as duas seções se interligam por hiperlinks colocados nos locais adequados. Além disso, tanto os verbetes dos edifícios quanto os geométricos ligam-se comapêndices, que
ELIPSE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Construções geométricas: – Método do jardineiro: Utiliza três estacas e uma corda. Primeiro fixam-se duas das estacas no local onde devem estar os focos e amarra-se a corda com as extremidades nas duas estacas fixas. Estica-se então a corda, que deve medir 2 (a+c), com a terceira estaca e com ela desenha-se a elipse, mantendo-a sempreAEROPORTO DE KANSAI
Curvas no Projeto: Forma aerodinâmica. Descrição e Motivação: O edifício teve a forma definida por estudos aerodinâmicos, segundo o arquiteto. Além disso, sua forma lembra uma espinha dorsal, uma onda se desenrolando ou uma asa aberta. Figura 1: Seção transversal do Aeroporto de Kansai. PARÁBOLA | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Divida o segmento OB 0 em 10 trechos iguais pelos pontos B 1 (o mais próximo de B 0 ), B 2, , B 9. Trace os segmentos A 1 B 9, A 1 B 8, A 1 B 7, , A 9 B 1. Esses segmentos são todos tangentes à parábola. Para encontrar o ponto de tangência (que pertence à parábola) de um dado segmento A i B 10-i basta dividir o segmento A i B 10-i WALT DISNEY CONCERT HALL Autor: Frank Gehry Cidade: Los Angeles, EUA Ano: 1999\2003 Curvas no Projeto: Forma livre Descrição e Motivação: O edifício possui forma livre, composta por placas metálicas torcidas, teve a forma possibilitada pelo uso de superfícies desenvolvíveis dadas as exigências do material. Bibliografia: POTTMANN, Helmut; ASPERL, Andreas; HOFER, Michael; KILIAN, Axel. HIPÉRBOLE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Propriedades físicas : – Os raios que saem de um foco e são refratados em um folha da hipérbole passam pelo outro foco. – É a forma de uma órbita de um corpo que ultrapassou a velocidade de escape. História: Veja História das Cônicas. BASÍLICA DE SÃO PEDRO Autor: Michelângelo Buonarrotti Cidade: Roma, Itália Ano: séc. XVII Curvas no Projeto: Esfera Descrição e Motivação: A basílica possui uma cúpula pensada de acordo com métodos estereotômicos e geométricos do Renascimento. Em 1748, Giovanni Poleni usou o teorema de Hooke sobre a relação entre as forma de arcos e de correntes pendentes para confirmarAEROPORTO DE DULLES
Autor: Eero Saarinen Cidade: Washington D. C., EUA Ano: 1960\\62 Curvas no Projeto: Tensoestrutura Descrição e Motivação: A cobertura é em estrutura de BIBLIOTECA DE SEINÄJOKI Autor: Aalvar Aalto Cidade: Seinajöki, Finlândia Ano: 1963\65 Curvas no Projeto: Cilindróide Descrição e Motivação: O edifício possui na fachada principal um edifício da família do cilindro topológico. Bibliografia: CONSIGLIERI, Victor. A Morfologia da Arquitetura: 1920-1970 Vol. I. Referência/Editorial Estampa. Lisboa,1994.
PARAMETRIZAÇÃO DO PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Para parametrizar o parabolóide hiperbólico dado pela equação vamos escolher parâmetros u e v sugeridos pela seguinte fatoração da equação do parabolóide: .Então, seja e , daí sai imediatamente a equação paramétrica:. Agora, se escrevemos a equação paramétrica adotando u como constante, em forma vetorial com v comoparâmetro livre:
CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE A outra seção guarda informações matemáticas e físicas das curvas e superfícies, além de motivações e exemplos dos seus possíveis na arquitetura. Naturalmente, as duas seções se interligam por hiperlinks colocados nos locais adequados. Além disso, tanto os verbetes dos edifícios quanto os geométricos ligam-se comapêndices, que
ELIPSE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Construções geométricas: – Método do jardineiro: Utiliza três estacas e uma corda. Primeiro fixam-se duas das estacas no local onde devem estar os focos e amarra-se a corda com as extremidades nas duas estacas fixas. Estica-se então a corda, que deve medir 2 (a+c), com a terceira estaca e com ela desenha-se a elipse, mantendo-a sempreAEROPORTO DE KANSAI
Curvas no Projeto: Forma aerodinâmica. Descrição e Motivação: O edifício teve a forma definida por estudos aerodinâmicos, segundo o arquiteto. Além disso, sua forma lembra uma espinha dorsal, uma onda se desenrolando ou uma asa aberta. Figura 1: Seção transversal do Aeroporto de Kansai. PARÁBOLA | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Divida o segmento OB 0 em 10 trechos iguais pelos pontos B 1 (o mais próximo de B 0 ), B 2, , B 9. Trace os segmentos A 1 B 9, A 1 B 8, A 1 B 7, , A 9 B 1. Esses segmentos são todos tangentes à parábola. Para encontrar o ponto de tangência (que pertence à parábola) de um dado segmento A i B 10-i basta dividir o segmento A i B 10-i WALT DISNEY CONCERT HALL Autor: Frank Gehry Cidade: Los Angeles, EUA Ano: 1999\2003 Curvas no Projeto: Forma livre Descrição e Motivação: O edifício possui forma livre, composta por placas metálicas torcidas, teve a forma possibilitada pelo uso de superfícies desenvolvíveis dadas as exigências do material. Bibliografia: POTTMANN, Helmut; ASPERL, Andreas; HOFER, Michael; KILIAN, Axel. HIPÉRBOLE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Propriedades físicas : – Os raios que saem de um foco e são refratados em um folha da hipérbole passam pelo outro foco. – É a forma de uma órbita de um corpo que ultrapassou a velocidade de escape. História: Veja História das Cônicas. BASÍLICA DE SÃO PEDRO Autor: Michelângelo Buonarrotti Cidade: Roma, Itália Ano: séc. XVII Curvas no Projeto: Esfera Descrição e Motivação: A basílica possui uma cúpula pensada de acordo com métodos estereotômicos e geométricos do Renascimento. Em 1748, Giovanni Poleni usou o teorema de Hooke sobre a relação entre as forma de arcos e de correntes pendentes para confirmarAEROPORTO DE DULLES
Autor: Eero Saarinen Cidade: Washington D. C., EUA Ano: 1960\\62 Curvas no Projeto: Tensoestrutura Descrição e Motivação: A cobertura é em estrutura de BIBLIOTECA DE SEINÄJOKI Autor: Aalvar Aalto Cidade: Seinajöki, Finlândia Ano: 1963\65 Curvas no Projeto: Cilindróide Descrição e Motivação: O edifício possui na fachada principal um edifício da família do cilindro topológico. Bibliografia: CONSIGLIERI, Victor. A Morfologia da Arquitetura: 1920-1970 Vol. I. Referência/Editorial Estampa. Lisboa,1994.
PARAMETRIZAÇÃO DO PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Para parametrizar o parabolóide hiperbólico dado pela equação vamos escolher parâmetros u e v sugeridos pela seguinte fatoração da equação do parabolóide: .Então, seja e , daí sai imediatamente a equação paramétrica:. Agora, se escrevemos a equação paramétrica adotando u como constante, em forma vetorial com v comoparâmetro livre:
HIPÉRBOLE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Propriedades físicas : – Os raios que saem de um foco e são refratados em um folha da hipérbole passam pelo outro foco. – É a forma de uma órbita de um corpo que ultrapassou a velocidade de escape. História: Veja História das Cônicas. CLOTÓIDE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Motivações para o uso na arquitetura e construção civil: – Em uma ferrovia ou rodovia, a clotóide é a “curva de transição” entre uma seção retilínea e uma circular, duas retilíneas ou duas circulares da via, podendo ser aproximada por uma parábola cúbica ou uma lemniscata nas imediações da origem e por uma espiral de CATEDRAL DE ST. PAUL Autor: Sir Christopher Wren Cidade: Londres, Reino Unido Ano: 1675-1711 Curvas no Projeto: Parábola, parabolóide de revolução, esfera Motivação: A cúpula da Catedral de St. Paul de Londres foi pensada como uma composição de três camadas: um hemisfério voltado para o exterior, um hemisfério voltado para o interior e, entre eles, um cone de sustentação.TEATRO TOTAL
Autor: Walter Gropius Cidade: Não construído Ano: 1926 Curvas no Projeto: Elipsóide Motivação: Gropius, nessa proposta de um teatro moderno adequado às novas necessidades das artes cênicas no século XX, optou por uma forma elíptica na cúpula oval pela flexibilidade das elipses e circunferências para movimentação dos palcos sem prejudicar a acústica ou a visibilidade.ROYAL ALBERT HALL
As poderosas reflexões da cúpula, porém, levaram a um fracasso da sala de concertos, pois o eco era demasiado. Assim, surgiu uma referência jocosa nos meios populares que dizia que a vantagem de se assistir a um concerto na Royal Albert Hall era que, pelo preço de um ingresso, era possível ouvir ao concerto duas vezes.PRAÇA DA ELIPSE
Autor: Charles L'Enfant Cidade: Washington D.C., EUA Ano: 1791 Curvas no Projeto: Elipse Motivação: Entre as várias formas geométricas colocadas pelo paisagista francês Charles L'Enfant no plano para a capital americana estava uma praça elíptica em frente à Casa Branca. De grande precisão quando comparada a uma elipse matemática de semi-eixos 322,56 m e 275,19CONGRESSO NACIONAL
Autor: Oscar Niemeyer e Joaquim Cardozo Cidade: Brasília, Brasil Ano: 1960 Curvas no Projeto: Elipsóide (Câmara), Parabolóide de revolução (Senado) Descrição e Motivação: O edifício do Congresso Nacional em Brasília é composto por duas cúpulas, uma para o Senado Federal e outra para a Câmara dos Deputados. A primeira, cuja concavidade aponta para baixo, possui PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Propriedades geométricas: – É uma superfície regrada por duas famílias de retas. – As intersecções com planos paralelos ao plano xy são hipérboles. – As intersecçõesARMAZÉM DE SAL
Autor: Pier Luigi Nervi Cidade: Tortona, Itália Ano: 1950\51 Curvas no Projeto: Parábola Descrição e Motivação: Possui uma abóbada parabólica de elementos pré-fabricados . Bibliografia: PICA, Agnoldomenico. Pier Luigi Nervi. Editorial Gustavo Gili. Barcelona,1969.
PARAMETRIZAÇÃO DO PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO Para parametrizar o parabolóide hiperbólico dado pela equação vamos escolher parâmetros u e v sugeridos pela seguinte fatoração da equação do parabolóide: .Então, seja e , daí sai imediatamente a equação paramétrica:. Agora, se escrevemos a equação paramétrica adotando u como constante, em forma vetorial com v comoparâmetro livre:
CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE A outra seção guarda informações matemáticas e físicas das curvas e superfícies, além de motivações e exemplos dos seus possíveis na arquitetura. Naturalmente, as duas seções se interligam por hiperlinks colocados nos locais adequados. Além disso, tanto os verbetes dos edifícios quanto os geométricos ligam-se comapêndices, que
GATEWAY ARCH
Autor: Eero Saarinen Cidade: St. Louis, EUA Ano: 1948 Curvas no Projeto: Catenária Descrição e Motivação: O Gateway Arch é um grande arco de espessura variável projetado por Saarinen que corresponde à própria curva funicular. Como a espessura do arco é variável, também o é sua densidade linear. Assim, a forma do arconão é
ELIPSE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Construções geométricas: – Método do jardineiro: Utiliza três estacas e uma corda. Primeiro fixam-se duas das estacas no local onde devem estar os focos e amarra-se a corda com as extremidades nas duas estacas fixas. Estica-se então a corda, que deve medir 2 (a+c), com a terceira estaca e com ela desenha-se a elipse, mantendo-a sempreÓPERA DE SYDNEY
Autor: JØrn Utzon, Ove Arup & Partners Cidade: Sydney, Austrália Ano: 1957-73 Curvas no Projeto: Catenária, esfera Motivação: No projeto da Ópera de Sydney, o arquiteto JØrn Utzon buscou uma forma com cascas finas de concreto que mimetizassem as velas dos navios do porto de Sydney. O resultado foi uma estrutura bastante complexa decascas,
AEROPORTO DE KANSAI
Curvas no Projeto: Forma aerodinâmica. Descrição e Motivação: O edifício teve a forma definida por estudos aerodinâmicos, segundo o arquiteto. Além disso, sua forma lembra uma espinha dorsal, uma onda se desenrolando ou uma asa aberta. Figura 1: Seção transversal do Aeroporto de Kansai. PARÁBOLA | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Divida o segmento OB 0 em 10 trechos iguais pelos pontos B 1 (o mais próximo de B 0 ), B 2, , B 9. Trace os segmentos A 1 B 9, A 1 B 8, A 1 B 7, , A 9 B 1. Esses segmentos são todos tangentes à parábola. Para encontrar o ponto de tangência (que pertence à parábola) de um dado segmento A i B 10-i basta dividir o segmento A i B 10-i WALT DISNEY CONCERT HALL Autor: Frank Gehry Cidade: Los Angeles, EUA Ano: 1999\2003 Curvas no Projeto: Forma livre Descrição e Motivação: O edifício possui forma livre, composta por placas metálicas torcidas, teve a forma possibilitada pelo uso de superfícies desenvolvíveis dadas as exigências do material. Bibliografia: POTTMANN, Helmut; ASPERL, Andreas; HOFER, Michael; KILIAN, Axel. BASÍLICA DE SÃO PEDRO Autor: Michelângelo Buonarrotti Cidade: Roma, Itália Ano: séc. XVII Curvas no Projeto: Esfera Descrição e Motivação: A basílica possui uma cúpula pensada de acordo com métodos estereotômicos e geométricos do Renascimento. Em 1748, Giovanni Poleni usou o teorema de Hooke sobre a relação entre as forma de arcos e de correntes pendentes para confirmarCONGRESSO NACIONAL
Autor: Oscar Niemeyer e Joaquim Cardozo Cidade: Brasília, Brasil Ano: 1960 Curvas no Projeto: Elipsóide (Câmara), Parabolóide de revolução (Senado) Descrição e Motivação: O edifício do Congresso Nacional em Brasília é composto por duas cúpulas, uma para o Senado Federal e outra para a Câmara dos Deputados. A primeira, cuja concavidade aponta para baixo, possuiAEROPORTO DE DULLES
Autor: Eero Saarinen Cidade: Washington D. C., EUA Ano: 1960\\62 Curvas no Projeto: Tensoestrutura Descrição e Motivação: A cobertura é em estrutura de CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE A outra seção guarda informações matemáticas e físicas das curvas e superfícies, além de motivações e exemplos dos seus possíveis na arquitetura. Naturalmente, as duas seções se interligam por hiperlinks colocados nos locais adequados. Além disso, tanto os verbetes dos edifícios quanto os geométricos ligam-se comapêndices, que
GATEWAY ARCH
Autor: Eero Saarinen Cidade: St. Louis, EUA Ano: 1948 Curvas no Projeto: Catenária Descrição e Motivação: O Gateway Arch é um grande arco de espessura variável projetado por Saarinen que corresponde à própria curva funicular. Como a espessura do arco é variável, também o é sua densidade linear. Assim, a forma do arconão é
ELIPSE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Construções geométricas: – Método do jardineiro: Utiliza três estacas e uma corda. Primeiro fixam-se duas das estacas no local onde devem estar os focos e amarra-se a corda com as extremidades nas duas estacas fixas. Estica-se então a corda, que deve medir 2 (a+c), com a terceira estaca e com ela desenha-se a elipse, mantendo-a sempreÓPERA DE SYDNEY
Autor: JØrn Utzon, Ove Arup & Partners Cidade: Sydney, Austrália Ano: 1957-73 Curvas no Projeto: Catenária, esfera Motivação: No projeto da Ópera de Sydney, o arquiteto JØrn Utzon buscou uma forma com cascas finas de concreto que mimetizassem as velas dos navios do porto de Sydney. O resultado foi uma estrutura bastante complexa decascas,
AEROPORTO DE KANSAI
Curvas no Projeto: Forma aerodinâmica. Descrição e Motivação: O edifício teve a forma definida por estudos aerodinâmicos, segundo o arquiteto. Além disso, sua forma lembra uma espinha dorsal, uma onda se desenrolando ou uma asa aberta. Figura 1: Seção transversal do Aeroporto de Kansai. PARÁBOLA | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Divida o segmento OB 0 em 10 trechos iguais pelos pontos B 1 (o mais próximo de B 0 ), B 2, , B 9. Trace os segmentos A 1 B 9, A 1 B 8, A 1 B 7, , A 9 B 1. Esses segmentos são todos tangentes à parábola. Para encontrar o ponto de tangência (que pertence à parábola) de um dado segmento A i B 10-i basta dividir o segmento A i B 10-i WALT DISNEY CONCERT HALL Autor: Frank Gehry Cidade: Los Angeles, EUA Ano: 1999\2003 Curvas no Projeto: Forma livre Descrição e Motivação: O edifício possui forma livre, composta por placas metálicas torcidas, teve a forma possibilitada pelo uso de superfícies desenvolvíveis dadas as exigências do material. Bibliografia: POTTMANN, Helmut; ASPERL, Andreas; HOFER, Michael; KILIAN, Axel. BASÍLICA DE SÃO PEDRO Autor: Michelângelo Buonarrotti Cidade: Roma, Itália Ano: séc. XVII Curvas no Projeto: Esfera Descrição e Motivação: A basílica possui uma cúpula pensada de acordo com métodos estereotômicos e geométricos do Renascimento. Em 1748, Giovanni Poleni usou o teorema de Hooke sobre a relação entre as forma de arcos e de correntes pendentes para confirmarCONGRESSO NACIONAL
Autor: Oscar Niemeyer e Joaquim Cardozo Cidade: Brasília, Brasil Ano: 1960 Curvas no Projeto: Elipsóide (Câmara), Parabolóide de revolução (Senado) Descrição e Motivação: O edifício do Congresso Nacional em Brasília é composto por duas cúpulas, uma para o Senado Federal e outra para a Câmara dos Deputados. A primeira, cuja concavidade aponta para baixo, possuiAEROPORTO DE DULLES
Autor: Eero Saarinen Cidade: Washington D. C., EUA Ano: 1960\\62 Curvas no Projeto: Tensoestrutura Descrição e Motivação: A cobertura é em estrutura de CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE A outra seção guarda informações matemáticas e físicas das curvas e superfícies, além de motivações e exemplos dos seus possíveis na arquitetura. Naturalmente, as duas seções se interligam por hiperlinks colocados nos locais adequados. Além disso, tanto os verbetes dos edifícios quanto os geométricos ligam-se comapêndices, que
GATEWAY ARCH
Autor: Eero Saarinen Cidade: St. Louis, EUA Ano: 1948 Curvas no Projeto: Catenária Descrição e Motivação: O Gateway Arch é um grande arco de espessura variável projetado por Saarinen que corresponde à própria curva funicular. Como a espessura do arco é variável, também o é sua densidade linear. Assim, a forma do arconão é
“THE EDEN PROJECT” Autor: Nicholas Grimshaw Cidade: Cornwall, Reino Unido Ano: 2001 Curvas no Projeto: Malha Descrição e Motivação: O complexo de edifícios possui cúpulas discretizadas em malhas hexagonais, mas com faces não-planas. Bibliografia: POTTMANN, Helmut; ASPERL, Andreas; HOFER, Michael; KILIAN, Axel. Architectural Geometry. BentleyInstitute Press.
PRAÇA DA ELIPSE
Autor: Charles L'Enfant Cidade: Washington D.C., EUA Ano: 1791 Curvas no Projeto: Elipse Motivação: Entre as várias formas geométricas colocadas pelo paisagista francês Charles L'Enfant no plano para a capital americana estava uma praça elíptica em frente à Casa Branca. De grande precisão quando comparada a uma elipse matemática de semi-eixos 322,56 m e 275,19 “PRAIRIE CHICKEN” Autor: Herb Green Cidade: Norman, EUA Ano: 1960 Curvas no Projeto: Forma da natureza Descrição e Motivação: O edifício busca mimetizar uma galinha protegendo o filho, com a janela como olhos, pois a palavra “window” vem de “windeye”. A planta curva também foi uma resposta ao vento local. Bibliografia: FEUERSTEIN, Günther. MUSEU GUGGENHEIM (BILBAO) Autor: Frank Gehry Cidade: Bilbao, Espanha Ano: 1991\97 Curvas no Projeto: Forma livre Descrição e Motivação: O edifício, coberto por placas de metal retorcidas com a forma escultural proposta pelo arquiteto, utiliza apenas superfícies desenvolvíveis, dada a limitação do material, e teve a concepção auxiliada por ferramentas de CAGD (Computer-Aided Geometric Design).TEATRO TOTAL
Autor: Walter Gropius Cidade: Não construído Ano: 1926 Curvas no Projeto: Elipsóide Motivação: Gropius, nessa proposta de um teatro moderno adequado às novas necessidades das artes cênicas no século XX, optou por uma forma elíptica na cúpula oval pela flexibilidade das elipses e circunferências para movimentação dos palcos sem prejudicar a acústica ou a visibilidade.ROYAL ALBERT HALL
As poderosas reflexões da cúpula, porém, levaram a um fracasso da sala de concertos, pois o eco era demasiado. Assim, surgiu uma referência jocosa nos meios populares que dizia que a vantagem de se assistir a um concerto na Royal Albert Hall era que, pelo preço de um ingresso, era possível ouvir ao concerto duas vezes. ASSEMBLÉIA DE CHANDIGAHR Autor: Le Corbusier Cidade: Chandigarh, Índia Ano: 1965 Curvas no Projeto: Hiperbolóide de uma folha, elipse Descrição e Motivação: O corpo do edifício é um hiperbolóide de uma folha, concebido como um cone que converge para o lanternim, que é elíptico, resultando em uma curvatura mais elegante que a circular. A forma inusitada cria HIPÉRBOLE | CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURATRANSLATE THIS PAGE Propriedades físicas : – Os raios que saem de um foco e são refratados em um folha da hipérbole passam pelo outro foco. – É a forma de uma órbita de um corpo que ultrapassou a velocidade de escape. História: Veja História das Cônicas. CURVAS, SUPERFÍCIES E ARQUITETURA* Apresentação
* Apêndices
APRESENTAÇÃO
Este site é o resultado de uma pesquisa de iniciação científica iniciada por um aluno de Arquitetura e Urbanismo e continuada (nunca finalizada) por um aluno do Bacharelado em Matemática na Unicamp, o primeiro com pouco mais e o segundo com pouco menos de metade do curso concluído. O trabalho em si respeita aproximadamente a mesmaproporção.
Basicamente, o site está dividido em duas seções. Em uma delas encontra-se uma lista de edifícios nos quais podem ser observadas curvas ou superfícies de expressão geométrica conhecidas, em geral aquelas com as quais alunos de “cursos de exatas” têm contato nos cursos de geometria analítica e de cálculo vetorial, ou simplesmente interessantes do ponto de vista físico, matemático ou arquitetônico, como é o caso de tensoestruturas, cúpulas geodésicas e do universo de possibilidades aberto pelas diversas ferramentas computacionais e executivas para execução de formas livres. A outra seção guarda informações matemáticas e físicas das curvas e superfícies, além de motivações e exemplos dos seus possíveis na arquitetura. Naturalmente, as duas seções se interligam por hiperlinks colocados nos locais adequados. Além disso, tanto os verbetes dos edifícios quanto os geométricos ligam-se com apêndices, que trazem demonstrações matemáticas, explicações de conceitos e aprofundamento de questõesarquitetônicas.
Para os interessados em arquitetura, este trabalho pode oferecer um repertório organizado de forma a destacar um aspecto da forma arquitetônica menos lembrado nos sites e livros de arquitetura mais consultados no curso, pelo menos com quais eu tive contato nos primeiros anos, além de oferecer alguma referência geométrica na miríade de possibilidades formais aberta pelo computador, que encontra atualmente uma menor dedicação à geometria clássica, sempre presente na formação dos arquitetos, nas escolas dearquitetura.
Para os matemáticos e interessados, o site oferece pouco em termos de profundidade matemática, as demonstrações exigem algum conhecimento inevitável de cálculo, geometria analítica e um pouco de álgebra linear, mas é um convite a ver como a matemática pode ser aplicada (ou será extraída?) em uma atividade estética artística. Lembro aqui de uma das primeiras aulas na arquitetura (coincidentemente de Geometria Aplicada), quando o professor perguntou aos alunos por que tinham escolhido o curso. Uma amiga falou que era uma forma de arte, “Eu acho que qualquer coisa feita com gosto pode ser considerada uma forma de arte. Até (_sic_) a matemática pode ser uma forma de arte.” Naturalmente a associação de matemática e arte causou estranheza em todos na sala. Sem entrar no mérito de discutir os critérios para a definição de arte, creio que sem dúvida ambas as áreas têm em comum, como motivação fundamental, a busca pela beleza. Como meio arquiteto, matemático em formação, acredito que a beleza se comporta de forma semelhante em ambos os casos, e assim, talvez, o trabalho possa agradar pitagóricos e vitruvianos. Pela própria natureza do trabalho enciclopédico, este site nunca estaria completo. Na verdade, pela falta de tempo, ou mesmo de conhecimento, ainda existem diversas lacunas nas várias seções. Pretendo preenchê-las com o tempo. Para isso, e para outros comentários gerais sobre o site, deixo o seguinte e-mail para sugestões, críticas, avisos sobre problemas técnicos no site e contribuições em geral: curvasearquitetura@gmail.com .AGRADECIMENTOS:
À Unicamp e ao CNPq pelo incentivo de dois anos por meio do programa de bolsas de iniciação científica do PIBIC. Ao Professor Alberto Saa, por encampar o projeto como orientador desde2009.
A todos os envolvidos no curso de MA141 no primeiro semestre de 2012: professor Saa, as PEDs Gabriela, Isabel e Kellen e todos os alunos por incentivarem, e até talvez sem saber ajudarem, em grande parte das demonstrações geométricas. A Thalita, Rafaela, Laryssa e Renato pela revisão inicial do site. Ao Professor Alexey Sergeev, pela foto da Faculdade de Medicina deCornell.
E a todos que colaboraram direta ou indiretamente com material ou incentivo para o trabalho. Vladmir Sicca Gonçalves Universidade Estadual de Campinas Obs: Ao longo do site são citadas imagens com direitos autorais. No lugar de cada uma dessas imagens é colocado o símbolo de “Copyleft”, e os locais onde podem ser obtidas são colocados ao fim da página. Pretendo ao longo do tempo procurar o máximo possível de imagens de divulgação livre das obras.Anúncios
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2 COMMENTS ON “APRESENTAÇÃO”*
Mario Rocha Retamoso on Outubro 22, 2017 às 12:54 amsaid:
Belíssima iniciativa. Tenho feito atividades dessa natureza com estudantes de matemática, engenharia e física. Mas foi uma pena não ter me deparado com seu site antes. Vou consultá-lo com regularidade.Parabéns
Responder
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vladmirsicca on Outubro 22, 2017 às 1:21 amsaid:
Obrigado pelo feedback, Mario! Fico feliz de saber que o site interessou, espero que ajude no seu trabalho.Responder
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